Nashova rovnováha. Teorie her pro ekonomy (John Nash)

2024 Autor: Henry Conors | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-02-12 05:09

Ve 30. letech 20. století se John von Neumann a Oscar Morgenstern stali zakladateli nového a zajímavého odvětví matematiky zvaného „teorie her“. V 50. letech se o tento směr začal zajímat mladý matematik John Nash. Teorie rovnováhy se stala předmětem jeho disertační práce, kterou napsal ve 21 letech. Tak se zrodila nová herní strategie s názvem „Nash Equilibrium“, která o mnoho let později – v roce 1994 – získala Nobelovu cenu.

Dlouhá mezera mezi psaním disertační práce a všeobecným uznáním se stala zkouškou pro matematika. Genialita bez uznání měla za následek vážné duševní poruchy, ale John Nash dokázal tento problém vyřešit díky své vynikající logické mysli. Jeho teorie Nash Equilibrium získala Nobelovu cenu a jeho život byl natočen v Beautiful mind.

Stručně o teorii her

Vzhledem k tomu, že teorie Nashovy rovnováhy vysvětluje chování lidí v podmínkách interakce, stojí za to zvážit základní pojmy teorie her.

Teorie her studuje chování účastníků (agentů) z hlediska vzájemné interakce jako při hře, kdy výsledek závisí na rozhodnutí a chování několika lidí. Účastník se rozhoduje na základě svých předpovědí o chování ostatních, čemuž se říká herní strategie.

Existuje také dominantní strategie, ve které účastník získá nejlepší výsledek za jakékoli chování ostatních účastníků. Toto je pro hráče nejlepší win-win strategie.

Vězeňovo dilema a vědecký průlom

Vězňovo dilema je případem hry, kde jsou účastníci nuceni činit racionální rozhodnutí a dosáhnout společného cíle tváří v tvář konfliktu alternativ. Otázkou je, kterou z těchto možností si vybere, uvědomuje si osobní i obecný zájem a také nemožnost získat obojí. Zdá se, že hráči jsou uvězněni v tvrdém herním prostředí, které je někdy nutí přemýšlet velmi produktivně.

Toto dilema prozkoumal americký matematik John Nash. Rovnováha, kterou dosáhl, byla svým způsobem revoluční. Obzvláště jasně tato nová myšlenka ovlivnila názor ekonomů na to, jak se účastníci trhu rozhodují, přičemž berou v úvahu zájmy ostatních, s úzkou interakcí a průnikem zájmů.

Nejlepší je studovat teorii her na konkrétních příkladech, protože tato matematická disciplína sama o sobě není suše teoretická.

Příklad vězňova dilematu

Příklad, dva lidé se dopustili loupeže, dostali se do rukou policie a jsou vyslýcháni v oddělených celách. Policisté přitom každému účastníkovi nabízejí zvýhodněné podmínky, za kterých bude propuštěn, pokud bude svědčit proti svému partnerovi. Každý zzločinci mají následující sadu strategií, které zváží:

Oba vypovídají ve stejnou dobu a dostanou 2,5 roku vězení.
Oba zároveň mlčí a dostávají každý 1 rok, protože v tomto případě bude důkazní základna jejich viny malá.
Jeden svědčí a je propuštěn, zatímco druhý mlčí a dostane 5 let vězení.

Výsledek případu samozřejmě závisí na rozhodnutí obou účastníků, ale nemohou se dohodnout, protože sedí v různých celách. Jasně viditelný je i střet jejich osobních zájmů v boji za společný zájem. Každý z vězňů má dvě možnosti akce a 4 možnosti výsledků.

Řetězec logických závěrů

Pachatel A zvažuje následující možnosti:

Já mlčím a můj partner mlčí – oba dostaneme 1 rok vězení.
Já odevzdám svého partnera a on mě - oba dostaneme 2,5 roku vězení.
Mlčím a můj partner mě zradí – dostanu 5 let vězení a on bude na svobodě.
Předávám svého partnera, ale on mlčí – já dostanu svobodu a on dostane 5 let vězení.

Uveďme matici možných řešení a výsledků pro jasnost.

Tabulka možných výsledků vězňova dilematu.

Otázkou je, co si každý soutěžící vybere?

„Mlč, nemůžeš mluvit“nebo „Nemůžeš mlčet, nemůžeš mluvit“

Abyste pochopili volbu účastníka, musíte projít řetězem jeho myšlenek. V návaznosti na odůvodnění trestního A: pokud budu mlčet a můj partner bude mlčet, dostaneme minimální lhůtu (1 rok), ale jáNevím, jak se bude chovat. Pokud bude svědčit proti mně, tak je lepší, abych vypovídal, jinak můžu sedět 5 let. Raději si sednu na 2,5 roku než na 5 let. Pokud bude mlčet, o to víc potřebuji svědčit, protože tak získám svobodu. Účastník B.

Není těžké pochopit, že dominantní strategií každého z pachatelů je svědčit. Optimální bod této hry nastává, když oba zločinci vypovídají a dostanou svou "cenu" - 2,5 roku vězení. Nashova teorie her nazývá tuto rovnováhu.

Neoptimální optimální řešení Nash

Revoluční povaha Nashianova pohledu spočívá v tom, že taková rovnováha není optimální, pokud vezmeme v úvahu jednotlivého účastníka a jeho vlastní zájmy. Koneckonců, nejlepší možností je mlčet a jít na svobodu.

Nashova rovnováha je bod konvergence zájmů, kde si každý účastník vybere možnost, která je pro něj optimální, pouze pokud ostatní účastníci zvolí určitou strategii.

Pokud vezmeme v úvahu možnost, kdy oba zločinci mlčí a dostávají pouze 1 rok, můžeme ji nazvat pareto-optimální možností. Je to však možné, pouze pokud by se zločinci mohli předem dohodnout. Ale ani to by nezaručilo tento výsledek, protože pokušení odstoupit od dohody a vyhnout se trestu je velké. Nedostatek úplné vzájemné důvěry a nebezpečí 5 let nuceného výběru s uznáním. Přemýšlejte o tom, co budou účastníci dodržovatmožnost mlčení, jednání ve shodě, je prostě iracionální. Takový závěr lze učinit, pokud budeme studovat Nashovu rovnováhu. Příklady jen potvrzují, že máte pravdu.

Sobecký nebo racionální

Teorie Nashovy rovnováhy přinesla překvapivé závěry, které vyvrátily principy, které existovaly dříve. Například Adam Smith považoval chování každého z účastníků za zcela sobecké, což uvedlo systém do rovnováhy. Této teorii se říkalo „neviditelná ruka trhu“.

John Nash viděl, že pokud budou všichni účastníci jednat ve svém vlastním zájmu, nikdy to nepovede k optimálnímu skupinovému výsledku. Vzhledem k tomu, že racionální myšlení je vlastní každému účastníkovi, je pravděpodobnější volba nabízená strategií Nashovy rovnováhy.

Čistě mužský experiment

Ukázkovým příkladem je hra blondýna paradox, která, i když zdánlivě není na místě, je jasnou ilustrací toho, jak funguje teorie Nashových her.

V této hře si musíte představit, že do baru přišla společnost svobodných kluků. Nedaleko je společnost dívek, z nichž jedna má přednost před ostatními, řekněme blondýna. Jak se kluci chovají, aby pro sebe získali tu nejlepší přítelkyni?

Takže úvahy chlapů: pokud se s blondýnkou začnou seznamovat všichni, pak to s největší pravděpodobností nikdo nedostane, její přátelé se nebudou chtít seznámit. Nikdo nechce být druhým záložníkem. Ale pokud se chlapci rozhodnou vyhnoutblondýna, pak je pravděpodobnost, že každý z kluků najde mezi dívkami dobrou přítelkyni, vysoká.

Nashova rovnovážná situace není pro chlapy optimální, protože sledující pouze své vlastní sobecké zájmy by si každý vybral blondýnu. Je vidět, že sledování pouze sobeckých zájmů se bude rovnat kolapsu skupinových zájmů. Nashova rovnováha bude znamenat, že každý chlap jedná ve svých vlastních zájmech, které jsou v kontaktu se zájmy celé skupiny. Toto není nejlepší možnost pro každého osobně, ale nejlepší pro každého na základě celkové strategie úspěchu.

Celý náš život je hra

Rozhodování v reálném světě je velmi podobné hře, kde očekáváte určité racionální chování i od ostatních účastníků. V podnikání, v práci, v týmu, ve firmě a dokonce i ve vztazích s opačným pohlavím. Od velkých obchodů až po běžné životní situace, vše se řídí jedním nebo druhým zákonem.

Samozřejmě, výše uvedené herní situace se zločinci a barem jsou jen vynikající ilustrace, které demonstrují Nashovu rovnováhu. Příklady takových dilemat se velmi často objevují na reálném trhu a funguje to zejména v případech, kdy trh ovládají dva monopolisté.

Smíšené strategie

Často se neúčastníme jedné, ale několika her najednou. Výběrem jedné z možností v jedné hře, vedeni racionální strategií, ale skončíte v jiné hře. Po pár racionálních rozhodnutích možná zjistíte, že váš výsledek není podle vašich představ. Covzít?

Uvažujme dva typy strategie:

Čistá strategie je chování účastníka, které vychází z přemýšlení o možném chování ostatních účastníků.
Smíšená strategie nebo náhodná strategie je náhodné střídání čistých strategií nebo výběr čisté strategie s určitou pravděpodobností. Tato strategie se také nazývá randomizovaná.

S ohledem na toto chování získáme nový pohled na Nashovu rovnováhu. Pokud dříve bylo řečeno, že hráč zvolí strategii jednou, lze si představit jiné chování. Dá se předpokládat, že hráči volí strategii náhodně s určitou pravděpodobností. Hry, které nemohou najít Nashovu rovnováhu v čistých strategiích, ji mají vždy ve smíšených strategiích.

Nashova rovnováha ve smíšených strategiích se nazývá smíšená rovnováha. Jedná se o rovnováhu, kdy si každý účastník volí optimální frekvenci výběru svých strategií za předpokladu, že ostatní účastníci volí své strategie s danou frekvencí.

Pen alty a smíšená strategie

Příklad smíšené strategie lze nalézt ve hře fotbal. Nejlepší ilustrací smíšené strategie je snad pen altový rozstřel. Takže máme brankáře, který může skočit jen do jednoho rohu, a hráče, který bude pen altu.

Pokud tedy hráč poprvé zvolí strategii střely do levého rohu a brankář také spadne do tohoto rohu a chytí míč, jak se může situace vyvinout podruhé? Pokud hráčzasáhne do opačného rohu, to je s největší pravděpodobností příliš zřejmé, ale zasažení do stejného rohu není o nic méně zřejmé. Brankáři i kopači tedy nezbývá nic jiného, než se spolehnout na náhodný výběr.

Střídáním náhodného výběru s určitou čistou strategií se tedy hráč a brankář snaží získat maximální výsledek.